\(\)
原子は電荷密度によって表現することが出来る．核の位置で電荷は特異的になり, 強さ \(Ze\) を持つ \(\mathbf{r}\) の \(\delta\)-関数として表わされる．ここで \(Z\) は核の原子番号である．原子内の全電子密度を \(\rho_e(\mathbf{r})\) とすれば, 原子内の電子の電荷密度は \(\rho(\mathbf{r})_{electron}=- e\rho_e(\mathbf{r})\) と表わされ, また核は \(Z e\) の電荷を持っているから核の位置での電荷密度は \(\rho(\mathbf{r})_{necleus}=Z e\delta(\mathbf{r})\) と表わせるであろう．(原子全体は電気的に中性なので原子内の電子数も \(Z\) 個である)．すると原子全体の電荷密度 \(\rho(\mathbf{r})\) は次のように表わせる：
\begin{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\rho(\mb{r})=\rho(\mb{r})_{necleus}+\rho(\mb{r})_{electron}=Ze\delta(\mb{r})-e\rho_e(\mb{r})
\end{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\rho(\mb{r})=\rho(\mb{r})_{necleus}+\rho(\mb{r})_{electron}=Ze\delta(\mb{r})-e\rho_e(\mb{r})
\end{equation}
このとき式 (6-49) の \(v(\mb{q})\) は次となる：
\begin{align}
v(\mb{q})&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\{Ze\delta(\mb{r})
-e\rho_e(\mb{r})\bigr\}\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\left[ Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\delta(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-e\int_{-\infty}^{\infty} \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}\left[ Z-\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
\tag{6-50}
\end{align}
v(\mb{q})&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\{Ze\delta(\mb{r})
-e\rho_e(\mb{r})\bigr\}\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\left[ Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\delta(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-e\int_{-\infty}^{\infty} \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}\left[ Z-\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
\tag{6-50}
\end{align}
ただし原子核が点と見做せず, ある核構造を有する場合には 「核の電荷分布関数」を \(\rho_n(\mb{r})\) とすれば, 核電荷密度は
\begin{equation}
\rho(\mb{r})_{necleus}=Ze\delta(\mb{r})+Ze\rho_n(\mb{r})
\tag{1}
\end{equation}
\rho(\mb{r})_{necleus}=Ze\delta(\mb{r})+Ze\rho_n(\mb{r})
\tag{1}
\end{equation}
となるであろう．よって,「核構造を有すると考える場合」の \(v(\mb{q})\) は次とするべきであろう：
\begin{align}
v(\mb{q})&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\{Ze\delta(\mb{r})+Ze\rho_n(\mb{r})-e\rho_e(\mb{r})\bigr\}
\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\left[ Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\delta(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
+Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right.\\
&\qquad \left. -e\int_{-\infty}^{\infty} \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{q^{2}}\left[1+\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-\frac{1}{Z}\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
\tag{2}
\end{align}
v(\mb{q})&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl\{Ze\delta(\mb{r})+Ze\rho_n(\mb{r})-e\rho_e(\mb{r})\bigr\}
\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}e}{q^{2}}\left[ Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\delta(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
+Ze\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right.\\
&\qquad \left. -e\int_{-\infty}^{\infty} \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&=-\frac{4\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{q^{2}}\left[1+\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-\frac{1}{Z}\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
\tag{2}
\end{align}
ただし, 核の電荷分布関数 \(\rho_n(\mb{r})\) の「規格化」は次である：
\begin{equation}
\int \rho_n(\mb{r})\,d^{3}\mb{r} = 4\pi \int_0^{\infty} \rho(r)\,r^{2}\,dr=1
\tag{3}
\end{equation}
\int \rho_n(\mb{r})\,d^{3}\mb{r} = 4\pi \int_0^{\infty} \rho(r)\,r^{2}\,dr=1
\tag{3}
\end{equation}
式(2) の \(v(\mb{q})\) を次のように表わそう：
\begin{align}
v(\mb{q})&=\frac{4\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{q^{2}}\left[1+\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-\frac{1}{Z}\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&\equiv -\frac{4\pi\hbar^{2}Ze^{2}}{q^{2}}F(q)
\tag{6-50′}
\end{align}
v(\mb{q})&=\frac{4\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{q^{2}}\left[1+\int_{-\infty}^{\infty}\,\rho_n(\mb{r})e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}
-\frac{1}{Z}\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]\\
&\equiv -\frac{4\pi\hbar^{2}Ze^{2}}{q^{2}}F(q)
\tag{6-50′}
\end{align}
この \(F(q)\) は「電子散乱の形状因子 ( form factor )」と呼ばれる．( 因みに \(X\) 線散乱でも似たような形状因子が現れる．\(X\) 線散乱の理論によると, 散乱に寄与するのは原子内電子だけであり, 原子核は寄与しない．従って \(X\) 線散乱の形状因子は, 式(6-50)の \(Z\) が省略されるだけで, あとは同じである)．
(参考) 問題 6-6 の Rutherford 散乱の断面積の場合には, クーロンポテンシャル \(V(r)=-Ze^{2}/r\) を考えた．これは核構造と電子による遮蔽効果を無視した場合に相当していることに注意すべし!．よって, 上式 (6-50) で「原子内電子の電荷密度 \(\rho_e(\mb{r})=0\) とする」ことに相当する．従って, 関係式 \(q=2p\sin(\theta/2)\) を用いると
\begin{equation}
v(\mb{q})=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}\left[ Z-\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}Z=-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}\theta/2}
\tag{4}
\end{equation}
v(\mb{q})=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}\left[ Z-\int \rho_e(\mb{r})\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,d^{3}\mb{r}\right]
=-\frac{4\pi\hbar^{2}e^{2}}{q^{2}}Z=-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}\theta/2}
\tag{4}
\end{equation}
このとき微分散乱断面積は,
\begin{equation}
\frac{d\sigma(\theta)}{d\Omega}=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}|v(\mb{q})|^{2}
=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left|-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}(\theta/2)}\right|^{2}
\tag{5}
\end{equation}
\frac{d\sigma(\theta)}{d\Omega}=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}|v(\mb{q})|^{2}
=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left|-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}(\theta/2)}\right|^{2}
\tag{5}
\end{equation}
従って, 古典的なエネルギーと運動量との関係 \(E=p^{2}/2m\) を用いると, ラザフォード散乱の微分散乱断面積 に一致する：
\begin{equation}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\left(\frac{d\sigma(\theta)}{d\Omega}\right)_{Ruth}=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left|-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}(\theta/2)}\right|^{2}=\frac{Z^{2}e^{4}}{\ds{16E^{2}\sin^{4}\frac{\theta}{2}}}
\tag{6}
\end{equation}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\left(\frac{d\sigma(\theta)}{d\Omega}\right)_{Ruth}=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^{2}}\right)^{2}\left|-\frac{\pi\hbar^{2}Z e^{2}}{p^{2}\sin^{2}(\theta/2)}\right|^{2}=\frac{Z^{2}e^{4}}{\ds{16E^{2}\sin^{4}\frac{\theta}{2}}}
\tag{6}
\end{equation}
