問題 6-10 の解答例

Problem 6-10
Consider a diatomic molecule containing two atoms, $A$ and $B$ , arranged with their centers at the points given by the vectors $a$ and $b$ . Using the Born approximation, show that the amplitude for an electron to be scattered from such a molecule is

\begin{matrix} (6-57) & K^{(1)} = e^{i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q) \end{matrix}

where

f_{A}

and

f_{B}

are the amplitudes for scattering by the two atoms individually when each atom is located at the center of a coordinate system. The atomic binding does not change the charge distributions around the nuclei very much (except for very light nuclei such as hydrogen) because the binding forces affect only a few of the outermost electrons.
Using Eq. (6-57), show that the probability of scattering at a particular value of

q

is proposional to

f_{A}^{2} + f_{B}^{2} + 2 f_{A} f_{B} \cos q \cdot d / ℏ

, where

d

a - b

( 解答例 )　原子 $A$ からの散乱振幅 $K_{A}^{(1)} = f_{A} (q)$ , 及び原子 $B$ からの散乱振幅 $K_{B}^{(1)} = f_{B} (q)$ を考える．それら個別の散乱振幅は, 式 (6-38) から次のように書けるはずである：

\begin{aligned} K^{(1)} & = - \frac{i}{ℏ} {(\frac{m}{2 π i ℏ})}^{5 / 2} \frac{u}{T^{1 / 2} R_{c} R_{d}} \exp (\frac{i m}{2 ℏ} u^{2} T) \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} V (r) \\ (1) & = - \frac{i}{ℏ} {(\frac{m}{2 π i ℏ})}^{5 / 2} \frac{u}{T^{1 / 2} R_{c} R_{d}} \exp (\frac{i m}{2 ℏ} u^{2} T) v (q) \end{aligned}

ただし,

v (q)

は式 (6-39) で定義されていた：

\begin{matrix} (2) & v (q) = \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} V (r) \end{matrix}

2 原子間距離

| a - b |

は

R_{c}, R_{d}

と比べて無視出来る位に微小であるから, 同じ

T

で

R_{c}

と

r_{c}

R_{d}

と

r_{d}

とは, ほぼ等しいと見做してよい．よって両者は, 次のように書くことが出来よう：

\begin{matrix} (3) & K_{A}^{(1)} = C \int d^{3} r_{a} e^{i q \cdot r_{a} / ℏ} V_{A} (r_{a}), K_{B}^{(1)} = C \int d^{3} r_{b} e^{i q \cdot r_{b} / ℏ} V_{B} (r_{b}) \end{matrix}

すなわち, 散乱振幅は積分部分が本質的である．また「1次のボルン振幅」

f^{(1)}

は式 (6-39) の

v (q)

を用いて次のように書けるのであった：

\begin{matrix} (4) & f^{(1)} (q) ≃ - \frac{m}{2 π ℏ^{2}} \int d^{3} x e^{i q \cdot x / ℏ} V (x) = - \frac{m}{2 π ℏ^{2}} v (q) \end{matrix}

以上のことから, 各原子の散乱振幅を次のように書くことにしよう：

\begin{aligned} f_{A} (q) & = C v (q)_{A} = C \int d^{3} r_{a} e^{i q \cdot r_{a} / ℏ} V_{A} (r_{a}), \\ (5) & f_{B} (q) & = C v (q)_{B} = C \int d^{3} r_{b} e^{i q \cdot r_{b} / ℏ} V_{B} (r_{b}) \end{aligned}

2原子分子のポテンシャルは

V (r) = V_{A} (r - a) + V_{B} (r - b)

と書ける．

r_{a} = r - a

r_{b} = r - b

とするならば

d^{3} r_{a} = d^{3} r

及び

d^{3} r_{b} = d^{3} r

なので, 分子全体の散乱振幅は次に書ける：

\begin{aligned} K^{(1)} & = C v (q) = C \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} V (r) \\ = C \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} [V_{A} (r - a) + V_{B} (r - b)] \\ = C \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} V_{A} (r - a) + C \int d^{3} r e^{i q \cdot r / ℏ} V_{B} (r - b) \\ = C \int d^{3} r_{a} e^{i q \cdot (r_{a} + a) / ℏ} V_{A} (r_{a}) + C \int d^{3} r_{b} e^{i q \cdot (r_{b} + b) / ℏ} V_{B} (r_{b}) \\ = e^{i q \cdot a / ℏ} C \int d^{3} r_{a} e^{i q \cdot r_{a} / ℏ} V_{A} (r_{a}) + e^{i q \cdot b / ℏ} C \int d^{3} r_{b} e^{i q \cdot r_{b} / ℏ} V_{B} (r_{b}) \\ (6) & = e^{i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q) \end{aligned}

式 (6-40) のところで述べられているように, コリメーターが設置されて中心粒子線から十分遠くの領域では, 電子の到達する確率は

K^{(1)}

の絶対値の 2 乗だけで与えられるのであった．また, 単位立体角当たりの散乱断面積 (微分散乱断面積) は, 式 (6-44) のようにかけるのであった：

\begin{matrix} (7) & \frac{d σ}{d Ω} = {(\frac{m}{2 π ℏ})}^{2} | v (p) |^{2} = | f^{(1)} (q) |^{2} \end{matrix}

よって

f_{A} (q)

と

f_{B} (q)

は実数であることに注意して式 (6) の絶対値をとることで, 目的の結果が得られる：

\begin{aligned} | K^{(1)} |^{2} & = C^{2} | v (q) |^{2} \\ = {(e^{i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q))}^{*} \cdot (e^{i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q)) \\ = (e^{- i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{- i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q)) \cdot (e^{i q \cdot a / ℏ} f_{A} (q) + e^{i q \cdot b / ℏ} f_{B} (q)) \\ = f_{A} (q)^{2} + f_{B} (q)^{2} + e^{- i q \cdot (a - b) / ℏ} f_{A} (q) f_{B} (q) + e^{i q \cdot (a - b) / ℏ} f_{A} (q) f_{B} (q) \\ = f_{A} (q)^{2} + f_{B} (q)^{2} + f_{A} (q) f_{B} (q) {e^{i q \cdot (a - b) / ℏ} + e^{- i q \cdot (a - b) / ℏ}} \\ = f_{A}^{2} (q) + f_{B}^{2} (q) + f_{A} (q) f_{B} (q) \times 2 \cos q \cdot (a - b) / ℏ \\ (8) & = f_{A}^{2} + f_{B}^{2} + 2 f_{A} f_{B} \cos (q \cdot d / ℏ) \end{aligned}

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