問題 7-1 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 7-1
If S[x(t)]=t1t2L(x˙,x,t)dt, show that, for any s inside the range t1 to t2,

(7-25)δSδx(s)=dds(Lx˙)+Lx

where the partial derivatives are evaluated at t=s.


( 解答 ) 関数 x(t) が任意の t=s において任意の小さな η(s) だけ変化したとき, すなわち δx(s)=η(s) であるとき, 作用 S の変分 δS は次である:

δS=S[x+η]S[x]=t1t2L(x˙+η˙,x+η,t)dst1t2L(x˙,x,t)ds=t1t2{L(x˙+η˙,x+η,s)L(x˙,x,s)}ds(1)=t1t2{Lx˙η˙+Lxη}ds=t1t2Lx˙η˙ds+t1t2Lxηds

この第 1 項は部分積分を行い, 端点で η(t1)=η(t2)=0 であるとして次となる:
(2)t1t2Lx˙η˙ds=[Lx˙η]t1t2t1t2dds(Lx˙)ηds=t1t2dds(Lx˙)ηds

これを式 (1) に代入すると,
(3)δS=t1t2ddt(Lx˙)ηds+t1t2Lxηds=t1t2{dds(Lx˙)+Lx}ηds

任意の汎関数 F=S の1次の変分に対して成り立つ式 (7-24) と, この式を比較してみる:
(4)δS=δSδx(s)δx(s)dsδS=t1t2{dds(Lx˙)+Lx}ηds

この場合の δx(s) に相当するのは η であるから, 結局求めるべき式 (7-25) が言える:
(5)δSδx(s)=dds(Lx˙)+Lx

 この結果は, 前述したブログ記事中の M.S.Swanson の合成関数の微分則の式 (sw-12) を用いることでより簡便に求めることも出来る.S=dtL において L=L[(x(t),x˙(t))] であるから, 式(sw-12) より
δS=dtδL=dt{δL[x]δx(t)δx(t)+δL[x]δx˙(t)δx˙(t)}(6)=dtδLδx(t)δx(t)+dtδLδx˙(t)ddtδx(t)

ここで第 2 項について部分積分を行うならば, 変分 δx は端点ではゼロであることから,
(7)dtδLδx˙(t)ddtδx(t)=δLδx˙δx|tatbdtddtδLδx˙δx=dtddtδLδx˙δx

この結果を式 (6) に代入し, また式 (sw-6) を用いると,
δS=dtδLδx(t)δx(t)dtddtδLδx˙δx=dt{δLδx(t)ddtδLδx˙}δx(t)(8)dtδSδx(t)δx(t)

よって, 式 (7-25) がやはり成り立つと言える:
(9)δSδx(t)=δLδx(t)ddtδLδx˙