問題 8-3 の解答例

Problem 8-3
Show that $Q_{α}^{c}$ , $Q_{α}^{s}$ are normanl coordinates, representing, however, standing waves $\cos (2 π α j / N)$ and $\sin (2 π α j / N)$ , respectively, i.e.,

\begin{matrix} (8-82) & q_{j} = \sqrt{\frac{2}{N}} [\frac{1}{2} Q_{0}^{c} + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{c} \cos (\frac{2 π}{N} α j) + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{s} \sin (\frac{2 π}{N} α j)] \end{matrix}

for

N

odd.

( 注意 ) この式 (8-82) の表現は, 原書や校訂版から自己流に修正してあるので注意するべし．

( 解答 )　まず $Q_{α}^{C}$ 及び $Q_{α}^{S}$ が基準座標であることを示しておく．系のラグランジアンは, 基準座標 $Q_{α}$ を用いて式 (8-78′) のように表わすことが出来た：

\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ({\dot{Q}}_{α}^{*} {\dot{Q}}_{α} - ω_{α}^{2} Q_{α}^{*} Q_{α}) = \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ({\dot{Q}}_{α}^{*} {\dot{Q}}_{α} - ω_{α}^{2} Q_{α}^{*} Q_{α}) \end{matrix}

このとき

Q_{α}

は, 式 (8-79) より

Q_{α}^{C}

と

Q_{α}^{S}

を用いて表せた：

\begin{aligned} Q_{α} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}), Q_{α}^{*} Q_{α} = \frac{1}{2} [(Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2}], \\ (2) & {\dot{Q}}_{α} & = \frac{1}{\sqrt{2}} ({\dot{Q}}_{α}^{C} - i {\dot{Q}}_{α}^{S}), {\dot{Q}}_{α}^{*} {\dot{Q}}_{α} = \frac{1}{2} [({\dot{Q}}_{α}^{C})^{2} + ({\dot{Q}}_{α}^{S})^{2}] \end{aligned}

これを式 (1) に代入すると, 運動エネルギーは式 (8-81) となり, 位置エネルギーも同様に表わせて,

\begin{aligned} L & = \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} {\frac{1}{2} [({\dot{Q}}_{α}^{C})^{2} + ({\dot{Q}}_{α}^{S})^{2}] - ω_{α}^{2} \frac{1}{2} [(Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2}]} \\ (3) & = \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \frac{1}{2} {({\dot{Q}}_{α}^{C})^{2} - ω_{α}^{2} (Q_{α}^{C})^{2}} + \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \frac{1}{2} {({\dot{Q}}_{α}^{S})^{2} - ω_{α}^{2} (Q_{α}^{S})^{2}} \end{aligned}

この形のラグランジアンは, 式 (8-57) と同様に「相互作用しない独立な調和振動子の集まりを表わしている」．よって

Q_{α}^{C}

と

Q_{α}^{S}

は一緒になって

N

個の基準座標になっていると言える．

変位 $q_{j}$ を求めるには, 基準座標 $Q_{α}$ を表わす式 (8-77) の両辺に $\exp (i \frac{2 π}{N} α k)$ を掛け合わせてから, $α$ について $0$ から $N - 1$ まで足し合わせばよい：

\begin{aligned} \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) Q_{α} & = \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} q_{j} \exp (- i \frac{2 π}{N} α j) \\ (4) & = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} q_{j} \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) \exp (- i \frac{2 π}{N} α j) \end{aligned}

その際に,

1

の累乗根の直交性から言える次の関係を利用する (この証明は前のブログ記事を参照するべし)：

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{N} \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) \exp (- i \frac{2 π}{N} α j) = δ_{k j} \end{matrix}

すると式 (4) は次のように展開される：

\begin{matrix} (6) & \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) Q_{α} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} q_{j} N δ_{k j} = \sqrt{N} q_{k} \end{matrix}

従って,

\begin{matrix} (7) & \sqrt{N} q_{k} = \sum_{α = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) Q_{α} \Rightarrow q_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = 0}^{N - 1} Q_{α} \exp (i \frac{2 π}{N} α k) \end{matrix}

よって, この場合の式 (8-52) に相当するのは,

a_{j α}

を

a_{j α}^{*}

で置き換えた式となるので注意が必要である：

\begin{matrix} (8) & q_{j} = \sum_{α = 1}^{N} a_{j α}^{*} Q_{α} (t) \end{matrix}

また, 式 (8-42) に類似して, 変位

q_{j}

は次のように表わすことが出来る：

\begin{matrix} (9) & q_{j} = \sum_{α = 1}^{N} c_{α} a_{j α}^{*} e^{i ω_{α} t} = \sum_{α = 0}^{N} c_{α} A e^{i K_{α} j} e^{i ω_{α} t} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = 0}^{N} c_{α} e^{i (K_{α} j - ω_{α} t)} \end{matrix}

この

q_{j} (t)

は, 明らかに「進行波」である．

さらに $N$ が奇数の場合を考慮して, 式 (7) の $α$ の範囲は $- (N - 1) / 2$ から $(N - 1) / 2$ までに修正しておく：

\begin{matrix} (10) & q_{j} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α} e^{i K j}, where K \equiv \frac{2 π}{N} α \end{matrix}

上式の

Q_{α}

に式 (8-77) の右辺を用いる．さらに式 (8-79) から次が言える：

\begin{matrix} (11) & Q_{α} (t) = \frac{1}{\sqrt{2}} {Q_{α}^{C} (t) - i Q_{α}^{S} (t)}, Q_{α}^{C} (t) = Q_{- α}^{C} (t), Q_{α}^{S} (t) = - Q_{- α}^{S} (t) \end{matrix}

これらの式を利用して

α

が負の部分を正のもので表わすことにすると,

\begin{aligned} q_{j} & = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α} e^{i K j} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) e^{i K j} \\ = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α < 0} \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) e^{i K j} + \frac{1}{\sqrt{N}} Q_{0} + \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α > 0} \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) e^{i K j} \\ = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α > 0} \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{- α}^{C} - i Q_{- α}^{S}) e^{- i K j} + \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α > 0} \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) e^{i K j} + \frac{Q_{0}}{\sqrt{N}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} (Q_{α}^{C} + i Q_{α}^{S}) e^{i K j} + \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) e^{i K j} + \frac{Q_{0}}{\sqrt{N}} \\ (12) & = \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} Q_{α}^{C} (e^{i K j} + e^{- i K j}) - i \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} Q_{α}^{S} (e^{i K j} - e^{- i K j}) + \frac{Q_{0}}{\sqrt{N}} \end{aligned}

ここで

e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \cos θ, e^{i θ} - e^{- i θ} = 2 i \sin θ

を利用すると,

\begin{aligned} q_{j} & = \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} Q_{α}^{C} 2 \cos (K j) - i \frac{1}{\sqrt{2 N}} \sum_{α > 0} Q_{α}^{S} 2 i \sin (K j) + \frac{Q_{0}}{\sqrt{N}} \\ (13) & = \sqrt{\frac{2}{N}} [\sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{C} \cos (K j) + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{S} \sin (K j)] + \frac{Q_{0} (t)}{\sqrt{N}} \end{aligned}

さらに

Q_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} Q_{0}^{C}

であるから, 最終的に次の結果となる：

\begin{aligned} q_{j} & = \sqrt{\frac{2}{N}} [\frac{1}{2} Q_{0}^{C} + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{C} \cos (K j) + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{S} \sin (K j)], K = \frac{2 π}{N} α \\ (14) & = \sqrt{\frac{2}{N}} [\frac{1}{2} Q_{0}^{C} + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{C} \cos (\frac{2 π}{N} α j) + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} Q_{α}^{S} \sin (\frac{2 π}{N} α j)] \end{aligned}

因みに, この問題文の式 (8.82) は, 区間　

[- l, l]

で定義された関数

S (x)

の「有限なフーリエ級数による近似式」に相当していると思われる：

\begin{matrix} (15) & S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{k} (a_{n} \cos \frac{n π x}{l} + b_{n} \sin \frac{n π x}{l}) \end{matrix}

このときの $Q_{α}^{C}$ と $Q_{α}^{S}$ が「定在波」であることを, やはりテル・ハールを参考にして示しておく：
式 (8.42′) で, ある一つの $α$ だけがゼロでないとする．それを $β$ とすると, そのときの $q_{j}$ が $Q_{β}$ である．これを式中で表現するには $c_{α} = δ_{α β}$ と置けばよいから,

\begin{matrix} (16) & q_{j} (t) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α} δ_{α β} \exp [i (K_{α} j - ω_{α} t)] = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{i K_{β} j - ω_{β} t} = Q_{β} \end{matrix}

式 (8-73) から

ω_{- α} = ω_{α}

である．また,

K_{- α} = 2 π (- α) / N = - K_{α}

に注意する．すると上式(15)から,

Q_{α}

と

Q_{- α}

は次のように書ける：

\begin{matrix} (17) & Q_{α} = \frac{1}{\sqrt{N}} \exp {i (K_{α} j - ω_{α} t)}, Q_{- α} = \frac{1}{\sqrt{N}} \exp {i (- K_{α} j - ω_{α} t)} \end{matrix}

式 (8-80) を用いて, このときの

Q_{α}^{C}

と

Q_{α}^{S}

を書いてみると,

\begin{aligned} Q_{α}^{C} & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α} + Q_{- α}) = \frac{1}{\sqrt{2 N}} [\exp {i (K_{α} j - ω_{α} t)} + \exp {i (- K_{α} j - ω_{α} t)}] \\ = \frac{1}{\sqrt{2 N}} e^{i ω_{α} t} (e^{i K_{α} j} + e^{- i K_{α} j}) = \frac{1}{\sqrt{2 N}} e^{i ω_{α} t} 2 \cos (K_{α} j) \\ = \sqrt{\frac{2}{N}} e^{i ω_{α} t} \cos (K_{α} j), \\ Q_{α}^{S} & = \frac{i}{\sqrt{2}} (Q_{α} - Q_{- α}) = \frac{i}{\sqrt{2 N}} [\exp {i (K_{α} j - ω_{α} t)} - \exp {i (- K_{α} j - ω_{α} t)}] \\ = \frac{i}{\sqrt{2 N}} e^{i ω_{α} t} (e^{i K_{α} j} - e^{- i K_{α} j}) = \frac{i}{\sqrt{2 N}} e^{i ω_{α} t} 2 i \sin (K_{α} j) \\ (18) & = - \sqrt{\frac{2}{N}} e^{i ω_{α} t} \sin (K_{α} j) \end{aligned}

このとき,

Q_{α}^{C}

と

Q_{α}^{S}

の形は, 時間

t

依存性と位置

j

依存性とが分離されており, これらの表わす波動が「定常波」であることは明らかである．

因みに, 式 (8-77) の $Q_{α}$ と式 (7) の $q_{j}$ とは,「ディジタル信号処理」(DSP) の「離散フーリエ変換」(DFT) の式と全く同じ形をしている：

Q_{α} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} q_{j} \exp (- i \frac{2 π}{N} α j), q_{j} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{α = 0}^{N - 1} Q_{α} \exp (i \frac{2 π}{N} α j)

従って, 基準座標への変換はフーリエ変換と見做すことも出来るかも知れない．

参考のために, L.R.Rabiner：「音声のディジタル信号処理」の § 2.2.3 (p.18 $\sim$ ) から,「離散フーリエ変換」に関係する部分を以下に抜粋しておく．

無限長の信号数列 $x (n)$ が, 長さ $N$ の周期数列 $\tilde{x} (n)$ を用いて, 次式で定義されるとする：
$\tilde{x} (n) = \sum_{r = - \infty}^{\infty} x (n + r N) = x (n modulo N) = x ((n))_{N}$
このとき $x (n)$ のフーリエ級数表示は周期数列 $\tilde{x} (n)$ のフーリエ係数となる．そこで, 有限長 $N$ の数列 $x (n)$ は, 次のような「離散フーリエ変換」(discrete Fourier transform, DFT)として厳密に表現される：

${\begin{aligned} X (k) & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j \frac{2 π}{N} k n}, (k = 0, 1, \dots, N - 1) \\ x (n) & = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X (k) e^{j \frac{2 π}{N} k n}, (n = 0, 1, \dots, N - 1) \end{aligned}$

月	火	水	木	金	土	日
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