1の累乗根

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問題 8-3 へ回答するための準備として,「1の累乗根」についてまとめておこう．自分で説明文を書く自信がないので, 次のウェブサイト記事の一部を訳すことで(多少の補足を加えて), まとめに代えることにする：

https://people.math.carleton.ca/~ckfong/C2.pdf

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1の累乗根

正の整数 $n$ が与えられたとき, 複素数 $z$ が $z^n＝1$ を満たすならば, この $z$ を $1$ の $n$ 乗根 ( $n$th root of unity ) と呼ぶ．言い換えれば, $z$ は多項式 $X^n–1$ の根である．複素数 $e^{i2\pi /n}$ を ${\omega }_n$ で, または $n$ が分かっているならば単に $\omega$ で表わす：

このとき ${\omega }^n=(e^{i2\pi /n}{)}^n=e^{i2\pi }=1$ なので, $\omega$ は $1$ の $n$乗根であることが分かる．次の複素数

を複素平面上の点と見なすと, これらは単位円に内接する正 $n$ 角形の頂点となる．例えば, $n=3$, $n=4$, $n=5$ の場合は, 図 1 のような頂点となる．

$1,\omega ,{\omega }^2,\cdots ,{\omega }^{n-1}$ のこの特殊な幾何学的配置のために, それらの合計がゼロになると考えるのは難しいことではない：
$$\begin{array}{}\text{(3)}& 1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}=0.\end{array}$$
この非常に重要な恒等式を代数的に証明して見よう．${\omega }^n=1$ から, 次となる：

明らかに $\omega \ne 1$, つまり $1-\omega \ne 0$ である．従って式 (3) が言える．

$\omega ,{\omega }^2,\cdots ,{\omega }^{n-1}$ の各々は $1$ の $n$乗根である．実際, $0\le k\le n-1$ として $z={\omega }^k$ とすると,

従って, $1,\omega ,{\omega }^2,\cdots ,{\omega }^{n-1}$ は $X^n-1$ のちょうど $n$ 個の異なる根である．各根 ${\omega }^k$ は $X^n-1$ の1次因子 $X-{\omega }^k$ に寄与する．従って, $X^n-1$ の因数分解は次のようになる：

この最後の表現は, $X-{\omega }^k$ ($k$ は $0$ から $n-1$ まで) の積と読むことが出来る．

恒等式 (3) からは, 各根 ${\omega }^k=e^{i2\pi k/n}$ の直交性が言える．式 (5) から, ${\omega }^k$ についても式 (4) と同様な式が成り立つは明らかだ：

明らかに ${\omega }^k\ne 0$, つまり $1-{\omega }^k\ne 0$ であるから,

従って, $k\ne 0$ の場合, 次が言える：

$k=0$ の場合は明らかに次が言える：

以上のことを次のように言い換える．$a,b$ をゼロでない整数として $k=a-b$ とおく．すると,

従って, 式 (9) と式 (10) とはまとめて次のように書くことが出来る：
$$\begin{array}{}\text{(12)}& \sum _{m=0}^{n-1}\exp \{i\frac{2\pi }{n}(a-b)m\}=\sum _{m=0}^{n-1}\exp \left(i\frac{2\pi }{n}am\right)\exp (-i\frac{2\pi }{n}bm)=\{\begin{array}{ll}0& a\ne b\\ n& a=b\end{array}\end{array}$$
これは関数 ${\omega }^k=e^{i2\pi k/n}$ の直交性を表している．または, 上式を $n$ で割り算すれば, 次のような「規格直交性」を表した式となる：
$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{1}{n}\sum _{m=0}^{n-1}\exp \{i\frac{2\pi }{n}(a-b)m\}=\sum _{m=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\exp \left(i\frac{2\pi }{n}am\right)\frac{1}{\sqrt{n}}\exp (-i\frac{2\pi }{n}bm)={\delta }_{ab}\end{array}$$