式 (8-106) 及び式 (8-107)の導出

問題 (8-7) に解答する準備も兼ねて, 本文の式 (8-106) と式 (8-107) の導出を書いておく．

◎ 導出の準備として

まずは,「フーリエ変換」について， H.P.スウ著「フーリエ解析」の § 4.5 以降から抜粋してまとめておく．

【 A 】如何なる関数も, 時間領域 $f (t)$ と周波数領域 $F (ω)$ に対応する2つのモード表現を持つことが出来る．
$f (t)$ と $F (ω)$ とは互いに次のような「フーリエ変換」の関係にある：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} F (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t \\ f (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{i ω t} d ω \end{aligned} \end{matrix}

【 B 】

F [f (t)] = F (ω)

とし，

t \to \pm \infty

で

f (t) \to 0

とすると, 次が成り立つ：

\begin{matrix} (2) & F [f^{^{'}} (t)] = i ω F (ω) = i ω F [f (t)] \end{matrix}

【 C 】

f_{1} (t)

及び

f_{2} (t)

を2つの与えられた関数とする．次の式で定義さえる量

f (t)

を,

f_{1} (t)

と

f_{2} (t)

の
「畳込み」( convolution ) と言う：

\begin{matrix} (3) & f (t) = f_{1} (t) * f_{2} (t) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (x) f_{2} (t - x) d x \end{matrix}

【 D 】畳込みについて, 次の「周波数畳み込み定理」( frequency convolution theorem ) が成り立つ：

F^{- 1} [F_{1} (ω)] = f_{1} (t)

及び

F^{- 1} [F_{2} (ω)] = f_{2} (t)

とすると,

\begin{aligned} (4) & F^{- 1} [F_{1} (ω) * F_{2} (ω)] = 2 π f_{1} (t) f_{2} (t) \\ (5) & or, & F [f_{1} (t) * f_{2} (t)] = \frac{1}{2 π} F_{1} (ω) * F_{2} (ω) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (y) F_{2} (ω - y) d y \end{aligned}

【 E 】上の定理を用いると次が言える：
関数

f_{1} (t)

及び

f_{2} (t)

を実数関数とし，

F [f_{1} (t)] = F_{1} (ω)

及び

F [f_{1} (t)] = F_{2} (ω)

とすると，

F (- ω) = F^{*} (ω)

が言えて, 次式が成り立つ：

\begin{matrix} (6) & \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (t) f_{2} (t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (ω) F_{2} (- ω) d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F_{1} (ω) F_{2}^{*} (ω) d ω \end{matrix}

◎ 以上の事柄を基に, 式 (8-106) を考える．

まず式 (8-85) から， $U (k, t)$ と $u (x, t)$ とは互いに「フーリエ変換」の関係にある：

\begin{matrix} (7) & F [u (x, t)] = U (k, t) {\begin{aligned} U (k, t) & = \int_{0}^{L} u (x, t) e^{i k x} d x \\ u (x, t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} U (k, t) e^{- i k x} d k \end{aligned} \end{matrix}

フーリエ変換 (7) は

x

についての変換であるから，

u (x)

の時間微分

\dot{u} (x, t)

のフーリエ変換は, 式 (7) の両辺を時間微分することで得られる：

\begin{matrix} (8) & F [\dot{u} (x, t)] = \dot{U} (k, t) {\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial t} & = \int_{0}^{L} \frac{\partial u}{\partial t} e^{i k x} d x \\ \frac{\partial u}{\partial t} & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial U}{\partial t} e^{- i k x} d k \end{aligned} \end{matrix}

また (B) からは次が言える：

\begin{matrix} (9) & F [u^{^{'}} (x)] = F [\frac{\partial u}{\partial x}] = i k U (k, t) \end{matrix}

以上のこと及び

u_{j} (x)

が実数関数であることから, 式 (6) により次が言える：

\begin{aligned} \int (\frac{\partial u}{\partial t}) (\frac{\partial u}{\partial t}) d x = \frac{1}{2 π} \int (\frac{\partial U (k, t)}{\partial t}) {(\frac{\partial U (k, t)}{\partial t})}^{*} d k = \int {[\frac{\partial U (k, t)}{\partial t}]}^{2} \frac{d k}{2 π}, \\ \int (\frac{\partial u}{\partial x}) (\frac{\partial u}{\partial x}) d x = \frac{1}{2 π} \int i k U (k, t) \times {- i k U (k, t)} d k = \int k^{2} U^{2} (k, t) \frac{d k}{2 π} \end{aligned}

この２式から, 式 (8-105) のフーリエ変換として式 (8-106) が得られることが分かる：

L = \frac{ρ}{2} \int {(\frac{\partial u}{\partial t})}^{2} d x - \frac{ρ c^{2}}{2} \int {(\frac{\partial u}{\partial x})}^{2} d x \overset{F}{\to} \frac{ρ}{2} \int \frac{d k}{2 π} {[\frac{\partial U (k, t)}{\partial t}]}^{2} - \frac{ρ c^{2}}{2} \int \frac{d k}{2 π} k^{2} U^{2} (k, t)

◎ また， J.J.Sakurai ：「Advanced Quantum Mechanics」の§ 1-2 より

ラグランジアンが式 (8-105) のように $L = \int L d x$ の形で表されるとき， $L$ に対する「オイラー=ラグランジュ方程式」は次である：
$\begin{matrix} (10) & \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial (\partial u / \partial x)} + \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial L}{\partial (\partial u / \partial t)} - \frac{\partial L}{\partial u} = 0 \end{matrix}$
この場合の $L$ は,