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問題 (8-7) に解答する準備も兼ねて, 本文の式 (8-106) と式 (8-107) の導出を書いておく．
◎ 導出の準備として
まずは,「フーリエ変換」について， H.P.スウ著「フーリエ解析」の § 4.5 以降から抜粋してまとめておく．
【 A 】 如何なる関数も, 時間領域 \(f(t)\) と周波数領域 \(F(\omega)\) に対応する2つのモード表現を持つことが出来る．
\(f(t)\) と \(F(\omega)\) とは互いに次のような「フーリエ変換」の関係にある：
\begin{equation}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\left\{\quad
\begin{aligned}
F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt\\
f(t)&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
\end{aligned}\right.
\tag{1}
\end{equation}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\left\{\quad
\begin{aligned}
F(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt\\
f(t)&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega
\end{aligned}\right.
\tag{1}
\end{equation}
【 B 】 \(\mathscr{F}[f(t)]=F(\omega)\) とし， \(t\to\pm\infty\) で \(f(t)\to0\) とすると, 次が成り立つ：
\begin{equation}
\mathscr{F}[f^{\,’}(t)]=i\omega F(\omega)=i\omega \mathscr{F}[f(t)]
\tag{2}
\end{equation}
\mathscr{F}[f^{\,’}(t)]=i\omega F(\omega)=i\omega \mathscr{F}[f(t)]
\tag{2}
\end{equation}
【 C 】 \(f_1(t)\) 及び \(f_2(t)\) を2つの与えられた関数とする．次の式で定義さえる量 \(f(t)\) を, \(f_1(t)\)と \(f_2(t)\) の
「畳込み」( convolution ) と言う：
\begin{equation}
f(t)= f_1(t)*f_2(t)\equiv \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(t-x)\,dx
\tag{3}
\end{equation}
f(t)= f_1(t)*f_2(t)\equiv \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x)f_2(t-x)\,dx
\tag{3}
\end{equation}
【 D 】 畳込みについて, 次の「周波数畳み込み定理」( frequency convolution theorem ) が成り立つ：
\(\mathscr{F}^{-1}[F_1(\omega)]=f_1(t)\) 及び \(\mathscr{F}^{-1}[F_2(\omega)]=f_2(t)\) とすると,
\begin{align}
&\mathscr{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=2\pi f_1(t)f_2(t)\tag{4}\\
\mathrm{or,}\quad &\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\reverse{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)=\reverse{2\pi}
\int_{-\infty}^{\infty}F_1(y)F_2(\omega-y)\,dy
\tag{5}
\end{align}
&\mathscr{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=2\pi f_1(t)f_2(t)\tag{4}\\
\mathrm{or,}\quad &\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\reverse{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)=\reverse{2\pi}
\int_{-\infty}^{\infty}F_1(y)F_2(\omega-y)\,dy
\tag{5}
\end{align}
【 E 】 上の定理を用いると次が言える：
関数 \(f_1(t)\) 及び \(f_2(t)\) を実数関数とし， \(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)\) 及び \(\mathscr{F}[f_1(t)]=F_2(\omega)\) とすると，
\(F(-\omega)=F^{*}(\omega)\) が言えて, 次式が成り立つ：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(t)\,dt=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega)F_2(-\omega)
\,d\omega=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega)F_2^{*}(\omega)\,d\omega
\tag{6}
\end{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(t)\,dt=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega)F_2(-\omega)
\,d\omega=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F_1(\omega)F_2^{*}(\omega)\,d\omega
\tag{6}
\end{equation}
◎ 以上の事柄を基に, 式 (8-106) を考える．
まず式 (8-85) から， \(U(k,t)\) と \(u(x,t)\) とは互いに「フーリエ変換」の関係にある：
\begin{equation}
\mathscr{F}[u(x,t)]=U(k,t)\quad \left\{\quad
\begin{aligned}
U(k,t)&=\int_0^{L} u(x,t)\,e^{ikx}\,dx\\
u(x,t)&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} U(k,t)\,e^{-ikx}\,dk
\end{aligned}\right.
\tag{7}
\end{equation}
\mathscr{F}[u(x,t)]=U(k,t)\quad \left\{\quad
\begin{aligned}
U(k,t)&=\int_0^{L} u(x,t)\,e^{ikx}\,dx\\
u(x,t)&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} U(k,t)\,e^{-ikx}\,dk
\end{aligned}\right.
\tag{7}
\end{equation}
フーリエ変換 (7) は \(x\) についての変換であるから， \(u(x)\) の時間微分 \(\dot{u}(x,t)\) のフーリエ変換は, 式 (7) の両辺を時間微分することで得られる：
\begin{equation}
\mathscr{F}[\dot{u}(x,t)]=\dot{U}(k,t)\quad \left\{\quad
\begin{aligned}
\ppdiff{U}{t}&=\int_0^{L} \ppdiff{u}{t}\,e^{ikx}\,dx\\
\ppdiff{u}{t}&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \ppdiff{U}{t}\,e^{-ikx}\,dk
\end{aligned}\right.
\tag{8}
\end{equation}
\mathscr{F}[\dot{u}(x,t)]=\dot{U}(k,t)\quad \left\{\quad
\begin{aligned}
\ppdiff{U}{t}&=\int_0^{L} \ppdiff{u}{t}\,e^{ikx}\,dx\\
\ppdiff{u}{t}&=\reverse{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \ppdiff{U}{t}\,e^{-ikx}\,dk
\end{aligned}\right.
\tag{8}
\end{equation}
また (B) からは次が言える：
\begin{equation}
\mathscr{F}[u^{\,’}(x)]=\mathscr{F}\left[\ppdiff{u}{x}\right]=ik\,U(k,t)
\tag{9}
\end{equation}
\mathscr{F}[u^{\,’}(x)]=\mathscr{F}\left[\ppdiff{u}{x}\right]=ik\,U(k,t)
\tag{9}
\end{equation}
以上のこと 及び \(u_j(x)\) が実数関数であることから, 式 (6) により次が言える：
\begin{align*}
&\int \left(\ppdiff{u}{t}\right)\left(\ppdiff{u}{t}\right)\,dx=\reverse{2\pi}\int \left(\ppdiff{U(k,t)}{t}
\right)\left(\ppdiff{U(k,t)}{t}\right)^{*}\,dk=\int \left[\ppdiff{U(k,t)}{t}\right]^{2}\,\frac{dk}{2\pi},\\
&\int \left(\ppdiff{u}{x}\right)\left(\ppdiff{u}{x}\right)\,dx=\reverse{2\pi}\int ikU(k,t)\times\{-ikU(k,t)
\}\,dk=\int k^{2} U^{2}(k,t)\,\frac{dk}{2\pi}
\end{align*}
この２式から, 式 (8-105) のフーリエ変換として式 (8-106) が得られることが分かる：
\[L=\frac{\rho}{2}\int \left(\ppdiff{u}{t}\right)^{2}\,dx -\frac{\rho c^{2}}{2}\int \left(\ppdiff{u}{x}
\right)^{2}\,dx\quad\xrightarrow{\mathscr{F}}\quad\frac{\rho}{2}\int \frac{dk}{2\pi}\,\left[\ppdiff{U(k,t)}{t}\right]^{2}-\frac{\rho c^{2}}{2}\int \frac{dk}{2\pi}\,k^{2}U^{2}(k,t)\]
◎ また， J.J.Sakurai ：「Advanced Quantum Mechanics」 の§ 1-2 より
ラグランジアンが式 (8-105) のように \(\displaystyle{L=\int \mathscr{L}\,dx}\) の形で表されるとき， \(\mathscr{L}\) に対する「オイラー=ラグランジュ方程式」は次である：
\[\pdiff{x}\ppdiff{\mathscr{L}}{(\partial u/\partial x)}+\pdiff{t}\ppdiff{\mathscr{L}}{(\partial u/\partial t)}-\ppdiff{\mathscr{L}}{u}=0\tag{10}\]
この場合の \(\mathscr{L}\) は,
\begin{equation}
\mathscr{L}=\frac{\rho}{2}\left(\ppdiff{u}{t}\right)^{2}-\frac{\rho c^{2}}{2}\left(\ppdiff{u}{x}\right)^{2}
\tag{11}
\end{equation}
\mathscr{L}=\frac{\rho}{2}\left(\ppdiff{u}{t}\right)^{2}-\frac{\rho c^{2}}{2}\left(\ppdiff{u}{x}\right)^{2}
\tag{11}
\end{equation}
すると,
\begin{align*}
\ppdiff{\mathscr{L}}{(\partial u/\partial x)}=-\frac{\rho c^{2}}{2}\times 2\left(\ppdiff{u}{x}\right)=-\rho c^{2}\ppdiff{u}{x},\quad
\ppdiff{\mathscr{L}}{(\partial u/\partial t)}=\frac{\rho}{2}\times 2\ppdiff{u}{t}=\rho\ppdiff{u}{t},\quad
\ppdiff{\mathscr{L}}{u}=0
\end{align*}
これらをオイラー=ラグランジュ方程式 (10) に代入すると, 式 (8-107) となる：
\[\pdiff{x}\left(-\rho c^{2}\ppdiff{u}{x}\right)+\pdiff{t}\left(\rho \ppdiff{u}{t}\right)=0\quad\rightarrow\quad -\rho\Bppdiff{u}{t}+\rho c^{2}\Bppdiff{u}{x}=0 \quad (8.107)\]
