空間の等方性に起因する保存量としての角運動量

J.J.Sakurai では, 角運動量を「回転の生成演算子」として導入している．それに対してランダウは「力学・場の理論」§9及び「量子力学」§14に於いて, 角運動量を「空間の等方性」に起因する保存量として導入している．物理的にはこちらの方が分かり易いのではないかと思われるので紹介しておこう．

古典力学での角運動量

「空間の等方性」に起因する保存則を導こう．この「等方性」というのは,「( $N$ 個の質点からなる)孤立した力学系の性質が, 空間内で系全体が任意回転しても変わらない」ということである．そこで系の無限に小さな回転を考え, その際にラグランジアンが不変であるための条件を求めよう．
無限小回転のベクトル $δ \vec{ϕ}$ を導入する．このベクトルの大きさは回転角 $δ ϕ$ に等しく, その方向は回転軸に一致している．
まず初めに, (回転軸上にある)座標原点から, 回転している系の任意の質点 $a$ に向かう位置ベクトル $r_{a}$ を考える．回転に際しての $r_{a}$ の変化量 $δ r_{a}$ を求める．位置ベクトル $r$ の先端の変位の大きさと角度の間には次の関係がある(図1を参照)：

\begin{matrix} (1) & | δ r | = r \sin θ \cdot δ ϕ \end{matrix}

Landau's picture about Angular momentaum

図 1 .

このベクトル $δ r$ の方向は $r$ と $δ \vec{ϕ}$ とで張られる平面に対して垂直であるから, 位置ベクトル $r_{a}$ について次が言えることは明らかである：

\begin{matrix} (2) & δ r_{a} = δ \vec{ϕ} \times r_{a} \end{matrix}

系の回転に際しては, 位置ベクトルの方向が変わるだけでなく, 力学系の全ての粒子の「速度の方向」も変化する．その際,「全てのベクトルは同じ法則に従って変換される」ことに注意する．従って, 各々の速度

v_{a}

の増加分(変化量)を静止した座標系で書くと次となる：

\begin{matrix} (3) & δ v_{a} = δ \vec{ϕ} \times v_{a} \end{matrix}

これらの表現を,「回転に対してラグランジアン

L

が不変」という次の条件に代入する：

\begin{matrix} (4) & δ L = \sum_{a} (\frac{\partial L}{\partial r_{a}} \cdot δ r_{a} + \frac{\partial L}{\partial v_{a}} \cdot δ v_{a}) = 0 \end{matrix}

このとき, 一般化運動量の定義とラグランジュの運動方程式から,

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial L}{\partial v_{a}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_{a}} = p_{a}, \frac{\partial L}{\partial r_{a}} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_{a}}) = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial v_{a}}) = \frac{d}{d t} p_{a} = {\dot{p}}_{a} \end{matrix}

この式 (5) 及び式 (2) と式 (3) を, 式 (4) に代入すると次となる：

\begin{matrix} (6) & δ L = \sum_{a} {{\dot{p}}_{a} \cdot (δ \vec{ϕ} \times r_{a}) + p_{a} \cdot (δ \vec{ϕ} \times v_{a})} = 0 \end{matrix}

３重積の循環置換

A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)

を行うと,

{\dot{p}}_{a} \cdot (δ \vec{ϕ} \times r_{a}) = δ \vec{ϕ} \cdot (r_{a} \times {\dot{p}}_{a}), p_{a} \cdot (δ \vec{ϕ} \times v_{a}) = δ \vec{ϕ} \cdot (v_{a} \times p_{a})

そこで更に

δ \vec{ϕ}

を括り出すと,

\begin{aligned} δ L & = \sum_{a} {δ \vec{ϕ} \cdot (r_{a} \times {\dot{p}}_{a}) + δ \vec{ϕ} \cdot (v_{a} \times p_{a})} \\ = δ \vec{ϕ} \cdot \sum_{a} {r_{a} \times {\dot{p}}_{a} + v_{a} \times p_{a}} \\ = δ \vec{ϕ} \cdot \sum_{a} {r_{a} \times \frac{d}{d t} p_{a} + \frac{d}{d t} r_{a} \times p_{a}} \\ (7) & = δ \vec{ϕ} \cdot \sum_{a} \frac{d}{d t} (r_{a} \times p_{a}) = 0 \end{aligned}

δ \vec{ϕ}

は任意であるから,

\begin{matrix} (8) & \sum_{a} \frac{d}{d t} (r_{a} \times p_{a}) = \frac{d}{d t} \sum_{a} (r_{a} \times p_{a}) = 0 \end{matrix}

でなければならない．すなわち, 孤立系の運動に際しては, 次のベクトル量が保存されることが分かった：

\begin{matrix} (9) & M = \sum_{a} (r_{a} \times p_{a}) \end{matrix}

この量を系の「角運動量」(或いは単に「モーメント」)と呼ぶ．
運動量の場合と同様に, この量の加法性は明らかである．このことは相互作用が有るか無いかに依らない．

量子力学での角運動量

関数 $f (x)$ の $x = a$ の近傍, すなわち $x^{'} = a + δ x$ でのテイラー展開, または, 関数 $g (x, y)$ の $(x = a, y = b)$ 近傍, すなわち $(x^{'}, y^{'}) = (a + δ x, b + δ y)$ でのテイラー展開は,
$\begin{aligned} f (a + d x) = f (a) + {(\frac{d f}{d x})}_{a} d x + \frac{1}{2!} {(\frac{d^{2} f}{d x^{2}})}_{a} (d x)^{2} + \dots, \\ f (a + d x, b + d y) \approx f (a, b) + {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{a} d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{b} d y \end{aligned}$
であるから, 式 (2) の回転による変化によって, 任意の多変数関数 $ψ (r_{1}, r_{2}, \dots)$ は次の関数に移る：