問題 6-22 の解答例

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Problem 6-22
In Prob. 6-21 we have $V_{12}=V_{21}$, so that $V_{12}$ is real. Show that even if $V_{12}$ is complex, the physical results are the same ( let $v=|V_{12}|$ ).

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(解答)　前のブログ記事で述べた「時間依存する2準位問題」がこの問題に相当しているので,その結果を用いて検討することにしよう．すると今度は $V_{11}=V_{22}=0,V_{12}=v{e}^{i\omega t},V_{21}=v{e}^{-i\omega t}$ とし, 初期条件： $c_1(0)=1,c_2(0)=0$ として, 次の連立方程式を解けばよい：

ただし ${\omega }_{21}=(E_2-E_1)/\hslash =-{\omega }_{21}$ である．第２式を更に時間微分したものに第１式を代入することで, 次のような $c_2$ について２次の定数係数の線形同次方程式が得られる：

これを初期条件 $c_2(0)=0,{\dot{c}}_2(0)=-ia$ で解けばよく, その解は次となる：

同様にして $c_1(t)$ の場合は, 次のような微分方程式が得られる：

これを初期条件 $c_1(0)=1,{\dot{c}}_1(0)=0$ で解けばよく, その解は次となる：

問題 6-21 と同様に, 二つの準位は縮退していて $E_1=E_2$ とする．また前述したブログにあるようにポテンシャルの角振動数 $\omega$ が２準位系を特徴付ける角振動数 ${\omega }_{21}$ とほぼ等しいという「共鳴条件」が成り立っている場合を考えると,

これを式(3)と式(5)に当てはめる．すると式(3)より時刻 $T$ 後に於ける振幅 $c_2(T)$ は,

同様にして, 式(5)より時刻 $T$ 後に於ける振幅 $c_1(T)$ は,

これらの結果は, 問題 6-21 解答で示した式 (7.a) と式 (7.b) と全く同じである．従って「摂動ポテンシャル $V_{12}$ が複素数であっても物理的結果すなわち遷移確率は同じである」と言える．