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Problem 6-22
In Prob. 6-21 we have \(V_{12}=V_{21}\), so that \(V_{12}\) is real. Show that even if \(V_{12}\) is complex, the physical results are the same ( let \(v=|V_{12}|\) ).
(解答) 前のブログ記事で述べた「時間依存する2準位問題」がこの問題に相当しているので,その結果を用いて検討することにしよう．すると今度は \(V_{11}=V_{22}=0,\,V_{12}=v\,e^{i\omega t}\,,V_{21}=v\, e^{-i\omega t}\) とし, 初期条件： \(c_1(0)=1,c_2(0)=0\) として, 次の連立方程式を解けばよい：
\begin{align}
\newcommand{\ds}[1]{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\BraKet}[3]{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\odiff}[1]{\mfrac{d}{d #1}}
i\hbar\odiff{t}c_1(t)&=V_{11}c_1(t)+V_{12}e^{i\omega_{12}t}\,c_2(t) =v\, e^{i(\omega-\omega_{12})t}\,c_2(t)\notag\\
i\hbar\odiff{t}c_2(t)&=V_{21}e^{i\omega_{21}t}\,c_1(t)+V_{22}c_2(t)=v\, e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\,c_1(t)
\tag{1}
\end{align}
\newcommand{\ds}[1]{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}
\newcommand{\BraKet}[3]{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\odiff}[1]{\mfrac{d}{d #1}}
i\hbar\odiff{t}c_1(t)&=V_{11}c_1(t)+V_{12}e^{i\omega_{12}t}\,c_2(t) =v\, e^{i(\omega-\omega_{12})t}\,c_2(t)\notag\\
i\hbar\odiff{t}c_2(t)&=V_{21}e^{i\omega_{21}t}\,c_1(t)+V_{22}c_2(t)=v\, e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\,c_1(t)
\tag{1}
\end{align}
ただし \(\omega_{21}=(E_2-E_1)/\hbar=-\omega_{21}\) である．第２式を更に時間微分したものに第１式を代入することで, 次のような \(c_2\) について２次の定数係数の線形同次方程式が得られる：
\begin{equation}
\frac{d^{2} c_2}{d t^{2}}+i(\omega-\omega_{21})\frac{d c_2}{dt} +a^{2}c_2=0,\quad a=\mfrac{v}{\hbar}
\tag{2}
\end{equation}
\frac{d^{2} c_2}{d t^{2}}+i(\omega-\omega_{21})\frac{d c_2}{dt} +a^{2}c_2=0,\quad a=\mfrac{v}{\hbar}
\tag{2}
\end{equation}
これを初期条件 \(c_2(0)=0,\,\dot{c}_2(0)=-ia\) で解けばよく, その解は次となる：
\begin{equation}
c_2(t)=\mfrac{-2i(v/\hbar)e^{-i(\omega-\omega_{21})t/2}}{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}
+4(v/\hbar)^{2}}}\,\sin\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)
\tag{3}
\end{equation}
c_2(t)=\mfrac{-2i(v/\hbar)e^{-i(\omega-\omega_{21})t/2}}{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}
+4(v/\hbar)^{2}}}\,\sin\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)
\tag{3}
\end{equation}
同様にして \(c_1(t)\) の場合は, 次のような微分方程式が得られる：
\begin{equation}
\frac{d^{2} c_1}{d t^{2}} -i(\omega-\omega_{21})\frac{d c_1}{d t}+a^{2}c_1=0,\quad a=\mfrac{v}{\hbar}
\tag{4}
\end{equation}
\frac{d^{2} c_1}{d t^{2}} -i(\omega-\omega_{21})\frac{d c_1}{d t}+a^{2}c_1=0,\quad a=\mfrac{v}{\hbar}
\tag{4}
\end{equation}
これを初期条件 \(c_1(0)=1,\,\dot{c}_1(0)=0\) で解けばよく, その解は次となる：
\begin{align}
c_1(t)&=e^{i(\omega-\omega_{21})t/2}\cos\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)\notag\\
&\quad -i\mfrac{e^{i(\omega-\omega_{21})t/2}(\omega-\omega_{12})}{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}\sin\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)
\tag{5}
\end{align}
c_1(t)&=e^{i(\omega-\omega_{21})t/2}\cos\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)\notag\\
&\quad -i\mfrac{e^{i(\omega-\omega_{21})t/2}(\omega-\omega_{12})}{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}\sin\left(\mfrac{\sqrt{(\omega-\omega_{21})^{2}+4(v/\hbar)^{2}}}{2}\,t\right)
\tag{5}
\end{align}
問題 6-21 と同様に, 二つの準位は縮退していて \(E_1=E_2\) とする．また前述したブログにあるようにポテンシャルの角振動数 \(\omega\) が２準位系を特徴付ける角振動数 \(\omega_{21}\) とほぼ等しいという「共鳴条件」が成り立っている場合を考えると,
\begin{equation}
\omega\simeq \omega_{21}=\mfrac{E_2-E_1}{\hbar}=0,\quad\rightarrow\quad
\omega-\omega_{21}=0
\tag{6}
\end{equation}
\omega\simeq \omega_{21}=\mfrac{E_2-E_1}{\hbar}=0,\quad\rightarrow\quad
\omega-\omega_{21}=0
\tag{6}
\end{equation}
これを式(3)と式(5)に当てはめる．すると式(3)より時刻 \(T\) 後に於ける振幅 \(c_2(T)\) は,
\begin{equation}
c_2(T)\simeq \mfrac{-2iv/\hbar}{2v/\hbar}\sin \left(\mfrac{2v/\hbar}{2}T\right)
=-i \sin \left(\mfrac{v}{\hbar}T\right)
\tag{7}
\end{equation}
c_2(T)\simeq \mfrac{-2iv/\hbar}{2v/\hbar}\sin \left(\mfrac{2v/\hbar}{2}T\right)
=-i \sin \left(\mfrac{v}{\hbar}T\right)
\tag{7}
\end{equation}
同様にして, 式(5)より時刻 \(T\) 後に於ける振幅 \(c_1(T)\) は,
\begin{equation}
c_1(T)\simeq \cos\left(\mfrac{2v/\hbar}{2}T\right)=\cos\left(\mfrac{v}{\hbar}T\right)
\tag{8}
\end{equation}
c_1(T)\simeq \cos\left(\mfrac{2v/\hbar}{2}T\right)=\cos\left(\mfrac{v}{\hbar}T\right)
\tag{8}
\end{equation}
これらの結果は, 問題 6-21 解答で示した式 (7.a) と式 (7.b) と全く同じである．従って「摂動ポテンシャル \(V_{12}\) が複素数であっても物理的結果すなわち遷移確率は同じである」と言える．
