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Problem 9-5
The momentum in the field is given by
\begin{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int \mb{E}\times\mb{B}\,d^{3}\mb{r}
\tag{1}
\end{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int \mb{E}\times\mb{B}\,d^{3}\mb{r}
\tag{1}
\end{equation}
In the absence of matter (so \(\phi_{\mb{k}}=0\)), show this is
\begin{equation}
P’_{rad}=i\int \mb{k}(\mb{a}^{*}_{\mb{k}}\cdot\dot{\mb{a}}_{\mb{k}})\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\tag{2}
\end{equation}
P’_{rad}=i\int \mb{k}(\mb{a}^{*}_{\mb{k}}\cdot\dot{\mb{a}}_{\mb{k}})\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\tag{2}
\end{equation}
( 解答 ) \(\mb{E}\) 及び \(\mb{B}\) の平面波展開 (フーリエ変換) は次となる：
\begin{equation}
\mb{E}(\mb{r},t)=\int\mb{E}_{\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}},\quad
\mb{B}(\mb{r},t)=\int\mb{B}_{\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\tag{3}
\end{equation}
\mb{E}(\mb{r},t)=\int\mb{E}_{\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}},\quad
\mb{B}(\mb{r},t)=\int\mb{B}_{\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\,\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\tag{3}
\end{equation}
これを \(\mb{E}\times\mb{B}\) に用いると,
\begin{align}
\mb{E}\times\mb{B}&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\mb{E}_{\mb{k}}\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\times
\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\mb{B}_{\mb{k}’}\,e^{i\mb{k}’\cdot\mb{r}}\notag\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\mb{E}_{\mb{k}}
\times\mb{B}_{\mb{k}’}\,e^{i(\mb{k}+\mb{k}’)\cdot\mb{r}}
\tag{4}
\end{align}
\mb{E}\times\mb{B}&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\mb{E}_{\mb{k}}\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}}\times
\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\mb{B}_{\mb{k}’}\,e^{i\mb{k}’\cdot\mb{r}}\notag\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\mb{E}_{\mb{k}}
\times\mb{B}_{\mb{k}’}\,e^{i(\mb{k}+\mb{k}’)\cdot\mb{r}}
\tag{4}
\end{align}
次に, 上式の展開係数の結果式を利用する． これは本文の式 (9-17) の前に記されており,
\begin{equation}
\mb{E}_{\mb{k}}=-i\mb{k}\phi_{\mb{k}}-\sqrt{4\pi}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}},\quad
\mb{B}_{\mb{k}’}=\sqrt{4\pi}\,c\,i\,(\mb{k}’\times\mb{a}_{\mb{k}’})
\tag{5}
\end{equation}
\mb{E}_{\mb{k}}=-i\mb{k}\phi_{\mb{k}}-\sqrt{4\pi}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}},\quad
\mb{B}_{\mb{k}’}=\sqrt{4\pi}\,c\,i\,(\mb{k}’\times\mb{a}_{\mb{k}’})
\tag{5}
\end{equation}
ただし, この場合 \(\phi_{\mb{k}}=0\) である．すると, 上式 (4) 中の量 \(\mb{E}_{\mb{k}}\times\mb{B}_{\mb{k}’}\) は,
\begin{equation}
\mb{E}_{\mb{k}}\times\mb{B}_{\mb{k}’}=(-\sqrt{4\pi}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}})\times\sqrt{4\pi}ic(\mb{k}’
\times\mb{a}_{\mb{k}’})=-i4\pi c\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}’\times\mb{a}_{\mb{k}’}),
\tag{6}
\end{equation}
\mb{E}_{\mb{k}}\times\mb{B}_{\mb{k}’}=(-\sqrt{4\pi}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}})\times\sqrt{4\pi}ic(\mb{k}’
\times\mb{a}_{\mb{k}’})=-i4\pi c\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}’\times\mb{a}_{\mb{k}’}),
\tag{6}
\end{equation}
また, 次のデルタ関数の関係式も利用する：
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\mb{k}\cdot(\mb{x}-\mb{a})}\,d^{3}\mb{k}=(2\pi)^{3}\,\delta^{3}(\mb{x}-\mb{a})
\tag{7}
\end{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\mb{k}\cdot(\mb{x}-\mb{a})}\,d^{3}\mb{k}=(2\pi)^{3}\,\delta^{3}(\mb{x}-\mb{a})
\tag{7}
\end{equation}
これらの式 (6) と式 (7) を用いると, 式 (1) は
\begin{align}
P_{rad}&=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}\notag\\
&=\frac{1}{4\pi c}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}
\,(\mb{E}_{\mb{k}}\times\mb{B}_{\mb{k}’})\int e^{i(\mb{k}+\mb{k}’)\cdot\mb{r}}\,d^{3}\mb{r}\notag\\
&=\frac{-i4\pi c}{4\pi c}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}’
\times\mb{a}_{\mb{k}’})\times (2\pi)^{3}\delta^{3}(\mb{k}+\mb{k}’)\notag\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,(-i)\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times\bigl\{(-\mb{k})\times\mb{a}_{-\mb{k}}
\bigr\}
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})
\tag{8}
\end{align}
P_{rad}&=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}\notag\\
&=\frac{1}{4\pi c}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}
\,(\mb{E}_{\mb{k}}\times\mb{B}_{\mb{k}’})\int e^{i(\mb{k}+\mb{k}’)\cdot\mb{r}}\,d^{3}\mb{r}\notag\\
&=\frac{-i4\pi c}{4\pi c}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}
\int \frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}’
\times\mb{a}_{\mb{k}’})\times (2\pi)^{3}\delta^{3}(\mb{k}+\mb{k}’)\notag\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,(-i)\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times\bigl\{(-\mb{k})\times\mb{a}_{-\mb{k}}
\bigr\}
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})
\tag{8}
\end{align}
さらに, ベクトル解析の公式
\begin{equation}
\mb{a}\times(\mb{b}\times\mb{c})=(\mb{a}\cdot\mb{c})\,\mb{b}-(\mb{a}\cdot\mb{b})\,\mb{c}
\tag{9}
\end{equation}
\mb{a}\times(\mb{b}\times\mb{c})=(\mb{a}\cdot\mb{c})\,\mb{b}-(\mb{a}\cdot\mb{b})\,\mb{c}
\tag{9}
\end{equation}
を利用する．また, 式 (9-13) の時間微分により \(\mb{k}\cdot\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}=0\) である．以上から, 式 (8) 中の被積分量 \(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})\) は,
\begin{equation}
\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})=(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
-(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{k})\,\mb{a}_{-\mb{k}}=(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
\tag{10}
\end{equation}
\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})=(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
-(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{k})\,\mb{a}_{-\mb{k}}=(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
\tag{10}
\end{equation}
すると式 (8) すなわち式 (1) は,
\begin{equation}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
\tag{11}
\end{equation}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\times(\mb{k}\times\mb{a}_{-\mb{k}})
=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{-\mb{k}})\,\mb{k}
\tag{11}
\end{equation}
さらに, \(\mb{a}_{k}^{*}=\mb{a}_{-\mb{k}}\) は明らかである [1]ベクトルポテンシャルを式 (9-14) … Continue reading． よって, 最終的に式 (2) が言える：
\begin{equation}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,
(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{\mb{k}}^{*})\,\mb{k}
\tag{12}
\end{equation}
P_{rad}=\frac{1}{4\pi c}\int (\mb{E}\times\mb{B})\,d^{3}\mb{r}=i\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,
(\dot{\mb{a}}_{\mb{k}}\cdot\mb{a}_{\mb{k}}^{*})\,\mb{k}
\tag{12}
\end{equation}
References
| ↑1 | ベクトルポテンシャルを式 (9-14) のように平面波で展開すると \begin{equation} \mb{A}=\sqrt{4\pi}\,c\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\mb{a}_{\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}} \tag{13} \end{equation} この複素共役は, \begin{equation} \mb{A}^{*}=\sqrt{4\pi}\,c\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}\mb{k}’}{(2\pi)^{3}}\mb{a}^{*}_{\mb{k}’}(t)\,e^{-i\mb{k}’\cdot\mb{r}} \tag{14} \end{equation} ベクトルポテンシャルは実数量であるから, このとき \(\mb{A}^{*}=\mb{A}\) となるべきである．そうなるのは \(\mb{k}’=-\mb{k}\) の場合である．なぜなら, 式(14) に於いて変数変換 \(\mb{k}’=-\mb{k}\) を行うと, \begin{equation} \mb{A}^{*}=\sqrt{4\pi}\,c\int_{\infty}^{-\infty}\frac{-d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\mb{a}^{*}_{-\mb{k}}(t)\,e^{-i(-\mb{k})\cdot\mb{r}} =\sqrt{4\pi}\,c\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\mb{a}^{*}_{-\mb{k}}(t)\,e^{i\mb{k}\cdot\mb{r}} \tag{15} \end{equation} これが式 (13) の \(\mb{A}\) と一致するには \(\mb{a}^{*}_{-\mb{k}}(t)=\mb{a}_{\mb{k}}(t)\) が成り立つとき, すなわち \(\mb{a}_{k}^{*}=\mb{a}_{-\mb{k}}\) のときである． |
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