問題 6-15 の解答例

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Problem 6-15
Recall that in Prob. 5-4 we defined a particular integral as the transition amplitude to go from state $\psi (x)$ to state $\chi (x)$. Show that the function ${\lambda }_{mn}$ satisfies this definition when the initial state is the eigenfunction ${\varphi }_n(x)$ and the final state is the eigenfunction ${\varphi }_m(x)$.

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(解答例) 問題 5-4 では, 次の積分を状態 $\psi (x)$ から $\chi (x)$ への「遷移振幅」と呼んだ：

この量は $x_1$ と $x_2$ で積分されており, 変数 $t_1,t_2$ だけに依存することに注意する． このとき, 核 $K$ に「遷移振幅 ${\lambda }_{mn}$ を定義する式」である式 (6-68) の $K_V$ を用いる：

そして初期状態を $\psi (x)={\varphi }_i^{\ast }(x)$ , また, 終状態を $\chi (x)={\varphi }_j(x)$ とする． 以上のことを式 (1) に代入する．　すると ${\varphi }_i(x)$ の「規格直交性」を用いることで次となる：

よって ${\lambda }_{ij}$ の定義は「遷移振幅」 $⟨\chi |1|\psi ⟩$ に一致している ことが示された．