一般的な Lorentz 変換

特殊相対論のローレンツ変換の公式を考える場合, 初等的教科書のほとんどは, 二つの座標系 $K$ 及び $K^{'}$ は座標軸が平行で, 例えば $K^{'}$ 系が $K$ 系に対して $z$ 軸の正の方向に速度 $v$ で運動している特別な場合が多い．しかし $K^{'}$ 系が $K$ 系に対して「任意の速度 $v$ で平行移動している場合」の変換式はどうなるのであろうか？その答えは, 例えば D. Jackson : 「電磁気学」の§ 11.2 や, Misner, Thorne, Wheeler : 「Gravitation」の § 2. 10 の練習問題に提示されている．それらの記述を示しておこう．

次は Misner el al. : Gravitation § 2.10 の練習問題 2.7 の抜粋である：

Exercise 2.7 BOOST IN AN ARBITRARY DIRECTION
An especially useful Lorentz transformation $x^{μ^{'}} = Λ_{ν}^{μ^{'}} x^{ν}$ has the matrix components

$\begin{aligned} Λ_{0}^{0'} & = γ \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}}, \\ Λ_{j}^{0'} & = Λ_{0}^{j^{'}} = - β γ n^{j}, \\ (2.44) & Λ_{k}^{j^{'}} & = Λ_{j}^{k^{'}} = (γ - 1) n^{j} n^{k} + δ^{j k}, \\ Λ_{ν^{'}}^{μ} & = (same as Λ_{μ}^{ν^{'}} but with β replaced by - β), \end{aligned}$

where $β, n^{1}, n^{2}$ and $n^{3}$ are parameters, and $n^{2} \equiv (n^{1})^{2} + (n^{2})^{2} + (n^{3})^{2} = 1$ .

$Λ_{ν}^{μ^{'}} = (\begin{array}{cccc} γ & - β γ n^{1} & - β γ n^{2} & - β γ n^{3} \\ - β γ n^{1} & (γ - 1) n^{1} n^{1} + 1 & (γ - 1) n^{1} n^{2} & (γ - 1) n^{1} n^{3} \\ - β γ n^{2} & (γ - 1) n^{2} n^{1} & (γ - 1) n^{2} n^{2} + 1 & (γ - 1) n^{2} n^{3} \\ - β γ n^{3} & (γ - 1) n^{3} n^{1} & (γ - 1) n^{3} n^{2} + 1 & (γ - 1) n^{3} n^{3} + 1 \end{array})$

そして, 以下は D. Jackson : 「電磁気学」の§ 11.2 の記述を補足したものである：
２つの座標系 $K$ 及び $K^{'}$ を考える． $K^{'}$ 系の座標軸は $K$ 系の座標軸に平行であるとする．先ずは, $K^{'}$ 系が $K$ 系に対して $z$ 軸の正の方向に速度 $v$ で運動しているとする．(図1の左図を参照)．

図 1.

このときの $K$ 系の座標と $K^{'}$ 系の座標とを結び付ける Lorentz 変換は, 初等的な教科書で次のように記されているであろう：

\begin{aligned} z^{'} & = γ (z - v t), where γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}}, β = \frac{v}{c}, \\ x^{'} & = x, y^{'} = y \\ (1) & t^{'} & = γ (t - \frac{v}{c^{2}} z) \end{aligned}

この式 (1) の変換は,

K

系と

K^{'}

系の相対運動が

z

軸に平行である特別な場合を表わしている．
それに対して図1の右図のように,

K^{'}

系が

K

系に対して任意の速度

v

で平行移動している場合の変換式を考えてみる．式 (1) は明らかに座標ベクトルの

v

に平行な成分

x_{∥} = z

と垂直な成分

x_{⊥} = x, y

に対して適用できることに注意する．従って, 式 (1) に於いて

z \to x_{∥}

そして,

x, y \to x_{⊥}

とすれば次が得られる：

\begin{aligned} x_{∥}^{'} & = γ (x_{∥} - v t), x_{⊥}^{'} = x_{⊥}, \\ (2) & t^{'} & = γ (t - \frac{v \cdot x_{∥}}{c^{2}}) = γ (t - \frac{v \cdot x}{c^{2}}), γ = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} \end{aligned}

ただし,

n

をベクトル

v

方向の単位ベクトル即ち

v = v n

とし, また明らかに

x = x_{∥} + x_{⊥}

なので, 次式が言えることに注意する：

\begin{aligned} v z \to v \cdot x_{∥} = v \cdot (x_{∥} + x_{⊥}) = v \cdot x, because x = x_{⊥} + x_{∥}, v \cdot x_{⊥} = 0 \\ (3) & \frac{v}{v^{2}} (v \cdot x) = \frac{v}{v^{2}} (v \cdot x_{∥}) = n (n \cdot x_{∥}) = n | x_{∥} | = x_{∥}, therfore x_{∥} = \frac{(v \cdot x) v}{v^{2}} \end{aligned}

よって, 上式 (2) から次のような「同次の一般的な Lorentz 変換式」が得られる：

\begin{aligned} x^{'} & = x + (γ - 1) \frac{v \cdot x}{v^{2}} v - γ v t, \\ (4) & t^{'} & = γ (t - \frac{v \cdot x}{c^{2}}) or, c t^{'} = γ (c t - \frac{v \cdot x}{c}) \end{aligned}

n^{i} = \frac{v^{i}}{v}

として, これを座標成分で表現し直すと,

\begin{aligned} x^{' j} & = x^{j} + (γ - 1) (x^{1} \frac{v_{1}}{v} + x^{2} \frac{v_{2}}{v} + x^{3} \frac{v_{3}}{v}) \frac{v^{j}}{v} - γ \frac{v^{j}}{v} \frac{v}{c} c t \\ = δ_{k}^{j} x^{k} + (γ - 1) x^{k} n^{k} n^{j} - β γ n^{j} c t \\ = - β γ n^{j} c t + {δ_{k}^{j} + (γ - 1) n^{k} n^{j}} x^{k} \\ c t^{'} & = γ c t - γ \frac{x \cdot v}{c} = γ c t - γ \frac{v}{c} (\frac{v_{x}}{v} x + \frac{v_{y}}{v} y + \frac{v_{z}}{v} z) \\ = γ c t - γ β n^{1} x^{1} - γ β n^{2} x^{2} - γ β n^{3} x^{3} \\ (5) & = γ c t - β γ n^{k} x^{k} \end{aligned}

更に, 4次元座標

x^{μ}

で表現した「同次の一般的な Lorentz 変換式」 (非同次なローレンツ変換

x^{μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν} + a^{μ}

は「ポアンカレ変換」と呼ばれる) に書くならば,

\begin{aligned} x^{' μ} = Λ_{ν}^{μ} & x^{ν}, \\ x^{' j} & = Λ_{ν}^{j} x^{ν} = Λ_{0}^{j} c t + Λ_{k}^{j} x^{k} \\ (6) & x^{' 0} & = c t^{'} = Λ_{ν}^{0} x^{ν} = Λ_{0}^{0} c t + Λ_{k}^{0} x^{k} \end{aligned}

式 (5) と式 (6) とを比較するならば, 式 (5) の結果は, 前述の Misner の式 (2.44) に一致することが分かる：

\begin{matrix} (7) & Λ_{0}^{j} = - β γ n^{j}, Λ_{k}^{j} = δ_{k}^{j} + (γ - 1) n^{j} n^{k}, Λ_{0}^{0} = γ, Λ_{k}^{0} = - β γ n^{k} \end{matrix}

( 参考 ) 内山：「相対性理論」によれば, 「一般の Lorentz 変換」は次のように定義される：

任意の世界点 $P$ の $S$ , $S^{'}$ から見た座標をそれぞれ $x^{μ}$ , $x^{' μ}$ とする．いま $x^{μ}$ と $x^{' μ}$ の間に

$\begin{matrix} (8) & x^{' μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν} + b^{μ} \end{matrix}$

の関係があるとする．更に, 光速度不変の原理に基づく次の条件を満たすとする：

$\begin{matrix} (9) & s^{2} \equiv η_{μ ν} x^{μ} x^{ν} = η_{μ ν} x^{' μ} x^{' ν} \end{matrix}$

ただし, $η_{μ ν}$ は「平坦時空の計量テンソル」で, その符号系は Misner 本と同じ $(- + + +)$ とする．
このとき, 変換 $x^{μ} \to x^{' μ}$ は「Lorentz 変換」である．式 (9) を式 (8) に代入して $x$ の係数を比較すると次式が成り立つ：

$\begin{matrix} (10) & η_{μ ν} = η_{ρ σ} Λ_{μ}^{ρ} Λ_{ν}^{σ} = Λ_{μ}^{ρ} η_{ρ σ} Λ_{ν}^{σ} \end{matrix}$

従って, 「式 (8) で定義された座標変換 $x^{μ} \to x^{' μ}$ に於いて,その係数 $Λ_{ν}^{μ}$ が式 (10) を満たすとき, それは Lorentz 変換である」．