「はてなブログ」の方にずっと前に書いた記事で間違った記述をしてしまった！．そこで間違いを修正し, 改めてこちらに書いておく．
厳密なラグランジアンは相対論的な議論が必要である．そこでランダウ=リフシッツ：「力学・場の理論」§43 からの抜粋により「相対論的なラグランジアン」を求めておこう．また, その場合の相対論的ハミルトニアンを近似することで得られる「非相対論的なハミルトニアン」の表現も求めておく．因みに, シュレディンガー理論で電磁場中の荷電粒子の問題を最初に解いたのは, 1930年の L.D.Landau だそうである．
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相対論的なラグランジアン
電磁場の性質は「4元ポテンシャル」と呼ばれる4元ベクトル \(A_{\mu}\) により特徴付けられる．その成分は座標と時間の関数であり, 電磁場中の電荷 \(e\) を帯びた荷電粒子に対する作用関数の中では次の形で現れる：
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
S=\int_a^{b} \left(-mc\,ds-\frac{e}{c} A_{\mu}\,dx^{\mu}\right)
\tag{1}
\end{equation}
ただし4元ポテンシャル \(A^{\mu}\) は荷電粒子の世界線上の点に於けるもので, スカラーポテンシャル \(\phi\) とベクトルポテンシャル \(\mb{A}\) を成分に持つ．符合系 \((+,-,-,-)\) を持つ計量を採用すると次となる：
A^{\mu}=(A^{0},\mb{A})=\left(\phi,\mb{A}\right)
\tag{2}
\end{equation}
すると \(dx^{\mu}=(c dt,d\mb{r})\) であるから,
-\frac{e}{c} A^{\mu}\,dx_{\mu}&=-\frac{e}{c} \left(\phi\,c dt-\mb{A}\cdot d\mb{r}\right)=-e\phi\,dt+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot d\mb{r}\notag\\
&=\left(-e\phi+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\frac{d\mb{r}}{dt}\right)\,dt\notag
\end{align}
また世界間隔は \(ds=cdt\sqrt{1-\beta^{2}}\) である．よって作用積分(1)は次となる：
S=\int_a^{b}\left(-mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{v}-e\phi\right)dt
\tag{3}
\end{equation}
電磁場中の電荷のラグランジアンは上式の被積分関数である．よって, そのラグランジアンは次である：
L=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{v}-e\phi
\tag{4}
\end{equation}
従って, 小さい速度の場合, 式(4)のラグランジアンの近似式は, 前述した記事のラグランジアンとなる：
L=\frac{m}{2}v^{2}+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{v}-e\phi=\frac{\mb{p}^{2}}{2m}+\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{v}-e\phi
\tag{5}
\end{equation}
場中の荷電粒子の非相対論的ハミルトニアン
位置座標 \(\mb{r}\) に共役な「一般化運動量」は定義から \(\partial L/\partial \dot{q}\) により求まるのであったから, それを \(\mb{P}\) で表わすならば次となる：
\mb{P}=\ppdiff{L}{\mb{v}}=\frac{m\mb{v}}{\ds{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}+\frac{e}{c}\mb{A}=\mb{p}+\frac{e}{c}\mb{A}
\tag{6}
\end{equation}
ただし \(\mb{p}\) は通常の運動量(kinetic momentum) であり, 非相対論的力学では \(\mb{p}=m\dot{\mb{x}}\) である．これは J.J.Sakurai に依れば「力学的運動量」(dynamical momentum) と呼ばれ \(\varPi\) と記される：
\varPi \equiv m\frac{d\mb{x}}{dt} = \mb{P}\, – \frac{e}{c}\mb{A}
\end{equation}
場の中の荷電粒子の粒子のハミルトニアンは, もしも一般公式から求めることが出来ると考えるならば, 式(4)のラグランジアンと式(6)の力学的運動量 \(\mb{P}\) を用いて次となる：
\mathscr{H}&=\ppdiff{L}{\mb{v}}\cdot\mb{v}-L=\mb{P}\cdot\mb{v}-L
\tag{7}\\
&=\left(\mb{p}+\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot\mb{v}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}
-\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{v}+e\phi \notag\\
&=\mb{p}\cdot\mb{v}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+e\phi
=\frac{mv^{2}}{\ds{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+e\phi\notag\\
&=\frac{mc^{2}}{\ds{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}+e\phi
\tag{8}
\end{align}
しかしながら, ハミルトニアンは速度でなく粒子の一般化運動量で表わす必要がある．
式(6)と式(8)から \(\mathscr{H}-e\phi\) と \(\displaystyle \mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\) との間の関係は, 場が存在しないときの \(\mathscr{H}\) と \(\mb{p}\) との間の関係式： \(\displaystyle{\frac{E^{2}}{c^{2}}=p^{2}+m^{2}c^{2}}\) と同じになる：
\left(\frac{\mathscr{H}-e\phi}{c}\right)^{2}=\mb{p}^{2}+m^{2}c^{2}=\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}
\tag{9}
\end{equation}
これより次が得られる：
\mathscr{H}=c\sqrt{\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}+e\phi
\tag{10}
\end{equation}
この式(10)と式(8)との比較から \(\beta\equiv (v/c)\) として次式が得られる：
\frac{mc}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\sqrt{\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}
\tag{11}
\end{equation}
この式(11)を, 式(6)から得られる式に用いることで速度 \(\mb{v}\) は次のように表せる：
\frac{m\mb{v}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\quad \rightarrow\quad
\mb{v}=\frac{\ds{c\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}}{\ds{\sqrt{\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}}}
\tag{12}
\end{equation}
これを \(\mathscr{H}=\mb{P}\cdot\mb{v}-L\) に代入すれば再び式(10)となることが確認でき, それが「相対論的なハミルトニアン」である：
\mathscr{H}=c\sqrt{\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}+e\phi
\tag{13}
\end{equation}
速度が小さい場合, すなわち \(v\ll c\) の場合, 式(13)は近似的に次となる：
\mathscr{H}&=c\sqrt{\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+m^{2}c^{2}}+e\phi
=mc^{2}\sqrt{\ds{1+\frac{1}{m^{2}c^{2}}\left(P-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}}}+e\phi\notag\\
&\approx m c^{2}\left\{ 1+\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\left(P-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2} \right\}+e\phi\notag\\
&= m c^{2}+\frac{1}{2m}\left(P-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+e\phi\notag
\end{align}
従って, 小さい速度の場合のハミルトニアンすなわち「非相対論的なハミルトニアン」 \(\mathscr{H}\) を「力学的運動量」 \(\displaystyle{\mb{\varPi}=\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}}\) を用いて書いたものは (静止エネルギーを無視して) 次となる：
\mathscr{H}=\frac{1}{2m}\left(\mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+e\phi
\tag{14}
\end{equation}
また, 式(9)からは 4元運動量ベクトル \(p^{\mu}\) のスカラー積が次となることが言える：
p_{\mu}p^{\mu}=(mc)^{2}
\tag{15}
\end{equation}
ただし \(p^{\mu}\) は次である：
p^{\mu}\equiv \left(\frac{E}{c},\ \mb{p}\right)=\left(\frac{\mathscr{H}-e\phi}{c},\ \mb{P}-\frac{e}{c}\mb{A} \right)
\tag{16}
\end{equation}
以上の式は全てGauss単位系の表現である．もし SI 単位系を用いた教科書, 例えば, 内山龍雄：「相対性理論」などに於いては, ４元ポテンシャルの表現が \(A^{\mu}=\left(\phi/c, \mb{A}\right)\) になるなど, 式の表現が異なってくるので注意する．
ここに出現した「力学的運動量」 \(\mb{\varPi}\) については, 「ファインマン物理学V」の「量子力学」の§ 21-3 「２種類の運動量」で解説されているので参照すると良い．そこで述べられていることで大事だと思われるのは, 「量子力学の運動量演算子 \(\displaystyle{\frac{\hbar}{i}\nabla}\) に対応するのは「一般化運動量」(正準運動量) \(\mb{P}\) の方である」ということである：
\widehat{\mb{P}}=m\dot{\mb{x}}+\frac{e}{c}\mb{A}=-i\hbar \nabla
\tag{17}
\end{equation}
従って, 「古典力学的ハミルトニアン」が得られたならば, それを正準運動量 \(\mb{P}\) で表現し, その \(\mb{P}\) を演算子 \(-i\hbar\nabla\) で置き換えることにより「量子力学的ハミルトニアン」が得られるということになるであろう．よって式(14)から, その量子力学的ハミルトニアン \(\widehat{\mathscr{H}}\) は次であると言えよう：
\widehat{\mathscr{H}}=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+e\phi
\tag{18}
\end{equation}
すなわち, ファインマン物理学の § 21.1 の最後に書かれているように, 『ベクトルポテンシャルの存在は全ての振幅を指数関数の因子
\(\displaystyle{\exp\left\{\frac{ie}{\hbar c}\int_a^{b}\mb{A}\cdot d\mb{s}\right\}}\) だけ変化させるという「量子力学の原理」は, シュレディンガー方程式に於いては, 「運動量演算子 \(-i\hbar\nabla\) を
\frac{\hbar}{i}\nabla- \frac{e}{c}\mb{A}
\tag{19}
\end{equation}
で置き換える」という法則と同じことになる』のである!．因みに, この置き換えは「minimal substituiton」と呼ばれているようである．また, この「量子力学の原理」は最初の式(1)を指している．
( 参考 ) ランダウは「力学・場の理論」では式(14)のように記しているが, ランダウ=リフシッツ：「量子力学」の§ 43 では文字表記を変えて次のようにしているので注意が必要である：
H=\frac{1}{2m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}+e\Phi
\tag{20}
\end{equation}
この場合の \(\mb{p}\) は「力学・場の理論」の一般化運動量(正準運動量) \(\displaystyle{\mb{P}=m\dot{\mb{x}}+\frac{e}{c}\mb{A}}\) の方である．式の下できちんと但し書きで「 \(\mb{p}\) は一般化運動量である」と記しているが, 初心者には少し紛らわしかった．
